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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
i) $f(x)=e^{2 x^{4}-4 x^{2}}$
i) $f(x)=e^{2 x^{4}-4 x^{2}}$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$
2) Derivamos $f(x)$
\( f'(x) = e^{2 x^{4}-4 x^{2}} \cdot (8x^3 - 8x) \)
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
$ e^{2 x^{4}-4 x^{2}} \cdot (8x^3 - 8x)= 0$
La exponencial nunca es cero, así que los puntos críticos van a salir de plantear
$8x^3 - 8x = 0$
Esto ya lo resolvimos en el item anterior 🤲 Los puntos críticos de $f$ son \( x = 0 \), \( x = 1 \), y \( x = -1 \)
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 0) \)
- \( (0, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
En \( (-\infty, -1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
En \( (-1, 0) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
En \( (0, 1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
En \( (1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
Recapitulando entonces,
Intervalo de crecimiento: $ (-1, 0) \cup (1, +\infty)$
Intervalo de decrecimiento: $ (-\infty, -1) \cup (0, 1)$